Ricky Lee

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AI - 논리, 명제논리, 술어 논리 정의

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논리

논리는 말로 표현된 문장들에 대한 타당한 추론을 위해, 기호를 사용하여 문장들을 표현하고 기호의 조작을 통해 문장들의 참 또는 거짓을 판정하는 분야 입니다. 이러한 논리의 역사로는 삼단 논법, 명제 논리, 술어 논리로서 지금까지 이어져 왔습니다.

논리는 수학, 논리학에서 사용된 명제 논리나 서술 논리를 사용합니다. 논리를 사용했을 때의 특징으로는 다음과 같습니다.

  • 수학적인 근거를 바탕으로 논리개념을 자연스럽게 표현
  • 지식의 정형화 영역에 적합
  • 지식의 첨가와 삭제가 용이하고 단순
  • 절차적, 결정적 지식표현이 어려움
  • 실세계의 복잡한 구조를 표현하기 어려움


명제 논리

명제 논리에서 명제란 참, 거짓을 분명하게 판정할 수 있는 문장을 의미합니다. 명제를 P, Q같은 기호로 표현하고 진리 값을 결정합니다. 최소 단위의 기본 명제와 기본 명제들이 결합된 복합 명제로 나눌 수 있습니다.

1. 명제 논리의 구문

  • 논리식: 명제를 기호로 표현한 형식으로 명제기호와 논리기호를 사용하여 구성

  • 리터럴: 명제 기호 P와 ~P 부정

  • 절: 리터럴들이 논리합만으로 연결되거나 논리곱으로 연결된 논리식

  • 논리곱 정규형: 논리합 절들이 논리곱으로 연결되어 있는 논리식

  • 논리합 정규형: 논리곱 절들이 논리합으로 연결되어 있는 논리식

  • 정형식: 논리에서 문법에 맞는 논리식


2. 명제 논리의 의미

  • 진리표: 논리기호에 따라 참, 거짓 값을 결합하는 방법을 나타낸 표

  • 해석: 논리식의 진리 값을 결정하는 것

  • 모델: 명제기호에 참 혹은 거짓 값을 할당한 것

  • 항진식: 항상 참이되는 논리식(타당한 논리식)

  • 항위식: 항상 거짓이 되는 논리식

  • 충족 가능한 논리식: 참이되는 모델이 하나라도 있는 논리식

  • 충족 불가능한 논리식: 참으로 만들 수 있는 모델이 전혀 없는 논리식(항위식인 논리식)

  • 동치관계 논리식: 어떠한 모델에 대해서도 같은 값을 갖는 두 논리식, 동치관계를 이용하여 임의의 논리식을 논리곱 정규형과 같은 정형식으로 변환할 수 있다.

  • 논리적 귀결: 모든 정형식을 참으로 만드는 모델이 그것의 부분집합을 참으로 만든다는 논리적 귀결

  • 논리적 추론: 알려지지 않은 참인 값을 찾는 것


3. 명제 논리의 추론

  • 귀납적 추론: 관측된 사실들을 일반화하여 명제를 도출하는 것

  • 연역적 추론: 참인 사실들 혹인 명제들로부터 새로운 명제를 도출하는 것

  • 논리에서의 추론: 함의 관계를 이용하여 새로운 논리식을 유도하는 것

  • 추론규칙: 참인 논리식들이 논리적으로 귀결하는 새로운 논리식을 만들어내는 기계적으로 적용되는 규칙

  • 논리 융합: 여러 리터럴들을 이용하여 논리합절을 만들어 내는 것

  • 추론 규칙의 정당성: 생성된 논리식은 논리적으로 귀결하는 것

  • 추론 규칙의 완전성: 논리적으로 귀결하는 것은 추론 규칙이 찾아낼 수 있음

  • 공리: 참인 것으로 주어지는 논리식

  • 정리: 공리들에 추론 규칙을 적용하여 얻어지는 논리식

  • 정리증명: 공리들을 사용하여 정리가 참인 것을 보이는 것


술어 논리

술어 논리란 명제의 내용을 다루기 위해 변수, 함수 등을 도입하고 참, 거짓이 결정되도록 명제 논리를 확장한 논리입니다.

  • 술어: 문장의 서술어, 대상의 속성이나 관계를 기술하는 기호, 참 or 거짓 값을 갖는 함수

  • 술어논리: 문법구조와 의미도 포함한 논리적 표현

1. 술어 논리의 구문

  • 존재 한정사, 전칭 한정사

  • 함수: 참, 거짓이 아닌 일반적인 값을 반환

  • 항: 함수의 인자가 될 수 있는 것


2. 술어 논리의 종류

  • 일차 술어논리: 변수에만 한정사를 쓸 수 있도록 한 술어논리

  • 고차 술어논리: 변수 뿐만 아니라 함수, 술어기호 등에도 한정사를 쓸 수 있는 술어논리


3. 술어 논리의 추론

CNF로의 변환과정

  1. 전칭 한정사와 존재 한정사를 논리식의 맨 앞으로 끌어내는 변환
  2. 전칭 한정사에 임의의 값 허용
  3. 존재 한정사에 결합된 변수와 술어 기호를 참으로 만드는 값을 대응
  • 단일화 과정: 논리융합을 적용할 때, 대응되는 리터럴이 같아지도록 변수의 값을 맞추는 과정


4. 정리증명과 답유도

  • Therem Proving: 정리를 부정, 논리융합을 모순에 이를 때까지 계속 적용

  • Answer Extraction: 정리를 부모절에 추가로 union 시켜서 출발


Writer: Jae-Hwan Lee

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